Georg Friedrich Bernhard Riemann

Bernhard Riemann, secara penuh Georg Friedrich Bernhard Riemann (lahir 17 September 1826, Breselenz, Hanover [Jerman] - lahir pada tanggal 20 Juli 1866, Selasca, Italia), matematikawan Jerman yang pendekatan mendalam dan novelnya untuk mempelajari geometri meletakkan dasar matematika Untuk teori relativitas Albert Einstein. Dia juga memberikan kontribusi penting pada teori fungsi, analisis kompleks, dan teori bilangan.

Riemann lahir dalam keluarga pendeta Lutheran yang malang, dan sepanjang hidupnya dia adalah orang yang pemalu dan tertutup. Dia beruntung memiliki seorang guru sekolah yang mengenali kemampuan matematisnya yang langka dan meminjamkannya buku-buku lanjutan untuk dibaca, termasuk Teori Nomor Adrien-Marie Legendre (1830). Riemann membaca buku itu dalam seminggu dan kemudian mengaku tahu dengan hati. Dia melanjutkan studi matematika di Universitas Göttingen pada tahun 1846-47 dan 1849-51 dan di Universitas Berlin (sekarang Universitas Humboldt Berlin) pada tahun 1847-49. Dia kemudian secara bertahap menyelesaikan profesinya dengan profesi akademis, melalui serangkaian pekerjaan dengan gaji yang tidak baik, sampai dia menjadi profesor penuh pada tahun 1859 dan mendapatkan, untuk pertama kalinya dalam hidupnya, sebuah ukuran keamanan finansial. Namun, pada tahun 1862, tak lama setelah pernikahannya dengan Elise Koch, Riemann jatuh sakit parah dengan TBC. Perjalanan berulang ke Italia gagal membendung kemajuan penyakit tersebut, dan dia meninggal di Italia pada tahun 1866.
Kunjungan Riemann ke Italia penting untuk pertumbuhan matematika modern di sana; Enrico Betti secara khusus mengambil studi tentang gagasan Riemannian. Kesehatan yang buruk mencegah Riemann menerbitkan semua karyanya, dan sebagian dari bukunya terbaik diterbitkan hanya secara anumerta - misalnya, edisi pertama karya matematik Riemann Gesammelte Werke (1876; "Karya Matematika yang Dikumpulkan"), diedit oleh Richard Dedekind dan Heinrich Weber.

Pengaruh Riemann pada awalnya kurang dari yang seharusnya. Göttingen adalah universitas kecil, Riemann adalah dosen yang buruk, dan, untuk memperburuk keadaan, beberapa murid terbaiknya meninggal muda. Beberapa makalahnya juga sulit dibaca, namun karyanya memenangkan penghargaan dari beberapa matematikawan terbaik di Jerman, termasuk temannya Dedekind dan saingannya di Berlin, Karl Weierstrass. Ahli matematika lainnya secara bertahap tertarik pada makalahnya dengan kedalaman intelektual mereka, dan dengan cara ini dia menetapkan sebuah agenda untuk pemikiran konseptual mengenai perhitungan yang cerdik. Penekanan ini diambil oleh Felix Klein dan David Hilbert, yang kemudian mendirikan Göttingen sebagai pusat dunia untuk penelitian matematika, dengan Carl Gauss dan Riemann sebagai tokoh ikonnya.

Dalam tesis doktoralnya (1851), Riemann memperkenalkan cara generalisasi studi persamaan polinomial dalam dua variabel nyata terhadap dua variabel kompleks. Dalam kasus nyata, persamaan polinom mendefinisikan kurva di pesawat. Karena variabel kompleks z dapat dianggap sebagai sepasang variabel riil x + iy (di mana i = √ (-1)), sebuah persamaan yang melibatkan dua variabel kompleks mendefinisikan permukaan nyata-sekarang dikenal sebagai permukaan Riemann-tersebar di atas pesawat. Pada tahun 1851 dan di kertasnya yang lebih luas pada tahun 1857, Riemann menunjukkan bagaimana permukaan semacam itu dapat diklasifikasikan oleh sebuah bilangan, yang kemudian disebut genus, yang ditentukan oleh jumlah maksimal kurva tertutup yang dapat ditarik di permukaan tanpa membelahnya Potongan terpisah Ini adalah salah satu penggunaan topologi matematika pertama yang signifikan.

Pada tahun 1854 Riemann mempresentasikan gagasannya tentang geometri untuk kualifikasi postdoctoral resmi di Göttingen; Gauss tua adalah seorang pemeriksa dan sangat terkesan. Riemann berpendapat bahwa bahan dasar untuk geometri adalah ruang titik (disebut hari ini bermacam-macam) dan cara untuk mengukur jarak sepanjang kurva di ruang angkasa. Dia berpendapat bahwa ruang tidak perlu ruang Euclidean biasa dan bisa memiliki dimensi apapun (dia bahkan merenungkan ruang dimensi tak terbatas). Juga tidak perlu permukaan digambar secara keseluruhan dalam ruang tiga dimensi. Beberapa tahun kemudian ini mengilhami ahli matematika Italia Eugenio Beltrami untuk menghasilkan deskripsi geometri non-Euclidean seperti itu, alternatif fisik pertama yang masuk akal secara fisik terhadap geometri Euclidean. Gagasan Riemann melangkah lebih jauh dan ternyata memberikan landasan matematis untuk geometri empat dimensi ruang-waktu dalam teori relativitas umum Einstein. Tampaknya Riemann mengemukakan gagasan ini sebagian karena ketidaksukaannya terhadap konsep tindakan di kejauhan dalam fisika kontemporer dan oleh keinginannya untuk memberi ruang dengan kemampuan untuk mentransmisikan kekuatan seperti elektromagnetisme dan gravitasi.

Pada tahun 1859 Riemann juga memperkenalkan teori fungsi kompleks ke dalam teori bilangan. Dia mengambil fungsi zeta, yang telah dipelajari oleh banyak matematikawan sebelumnya karena hubungannya dengan bilangan prima, dan menunjukkan bagaimana menganggapnya sebagai fungsi kompleks. Fungsi zeta Riemann kemudian mengambil nilai nol pada bilangan bulat negatif bahkan (yang disebut bilangan nol sepele) dan juga pada titik pada garis tertentu (disebut garis kritis). Metode standar dalam teori fungsi kompleks, karena Agustin-Louis Cauchy di Prancis dan Riemann sendiri, akan memberikan banyak informasi tentang distribusi bilangan prima jika dapat ditunjukkan bahwa semua angka nol yang tidak penting terletak pada garis ini - sebuah dugaan yang dikenal sebagai Riemann hipotesa. Semua angka nol nontrivial yang ditemukan sejauh ini berada di garis kritis. Sebenarnya, angka nol yang tak terhingga telah ditemukan untuk berada pada garis ini. Hasil parsial semacam itu telah terjadi Gh untuk menunjukkan bahwa jumlah bilangan prima kurang dari jumlah x didekati dengan baik oleh x / ln x. Hipotesis Riemann adalah satu dari 23 masalah yang Hilbert menantang para matematikawan untuk dipecahkan di alamat 1900 yang terkenal, "Masalah Matematika." Selama bertahun-tahun, semakin banyak gagasan matematis yang dibangun berdasarkan asumsi bahwa hipotesis Riemann benar; Buktinya, atau disproof, akan memiliki konsekuensi luas dan memberi kabar instan.

Riemann mengambil pandangan baru tentang apa artinya benda matematis ada. Dia mencari bukti keberadaan umum, bukan "bukti konstruktif" yang benar-benar menghasilkan benda-benda itu. Dia percaya bahwa pendekatan ini menyebabkan kejelasan konseptual dan mencegah matematikawan tersesat dalam rincian, namun bahkan beberapa ahli tidak setuju dengan bukti tidak konstruktif semacam itu. Riemann juga mempelajari bagaimana fungsi dibandingkan dengan representasi seri trigonometri atau Fourier mereka, yang membuatnya dapat menyaring gagasan tentang fungsi terputus-putus. Dia menunjukkan bagaimana teori fungsi kompleks menerangi studi tentang permukaan minimal (permukaan area paling kecil yang memiliki batas tertentu). Dia adalah salah satu orang pertama yang mempelajari persamaan diferensial yang melibatkan variabel kompleks, dan karyanya menyebabkan hubungan yang mendalam dengan teori kelompok. Dia memperkenalkan metode umum baru dalam studi tentang persamaan diferensial parsial dan menerapkannya untuk menghasilkan studi besar pertama tentang gelombang kejut.

Christian FelixKlein

Felix Klein adalah seorang matematikawan Jerman dan pendidik matematika, yang dikenal karena karyanya dalam teori kelompok, analisis kompleks, geometri non-Euclid, dan hubungan antara geometri dan kelompok. Felix Klein lahir pada tanggal 25 April 1849 di Düsseldorf, Prusia; Ayahnya, Caspar Klein (1809-1889), adalah sekretaris resmi pemerintah Prusia yang ditempatkan di Provinsi Rhine. Ibu Klein adalah Sophie Elise Klein (1819-1890).

Sejak kecil, ketertarikannya terhadap matematika sudah sangat besar, terutama Geometri. Didasari hal ini, Ia kemudian masuk menjadi seorang pelajar di Gymnasium di Düsseldorf. Klein lulus dari Gimnasium di Düsseldorf. Dimulai pada semester musim dingin tahun 1865-1866 ia belajar matematika dan fisika di Universitas Bonn, di mana ia menerima gelar doktornya pada bulan Desember 1868. Untuk melanjutkan pendidikannya ia pergi pada awal tahun 1869 sampai Göttingen, Berlin, dan Paris, Menghabiskan beberapa bulan di setiap kota. Perang Franco-Prusia memaksa dia untuk meninggalkan Paris pada tahun 1870. Setelah menjalani masa tugas militer yang singkat secara medis, Klein berkualifikasi sebagai dosen di Göttingen pada awal tahun 1871. Pada tahun berikutnya dia ditunjuk sebagai profesor matematika penuh. Di Erlangen, di mana dia mengajar sampai tahun 1875. Dari tahun 1875 sampai 1880 dia menjadi profesor di Technische Hochschule di Munich, dan dari tahun 1880 sampai 1886 di Universitas Leipzig. Dari tahun 1886 sampai kematiannya dia adalah seorang profesor di Universitas Göttingen. Dia pensiun pada tahun 1913 karena kesehatannya buruk. Selama Perang Dunia I dan untuk sementara waktu dia memberikan kuliah di rumahnya. Pada bulan Agustus 1875 Klein menikahi Anne Hegel, cucu dari filsuf. Mereka memiliki satu anak laki-laki dan tiga anak perempuan.

Salah satu matematikawan terkemuka seusianya, Klein membuat banyak kontribusi yang merangsang dan bermanfaat bagi hampir semua cabang matematika, termasuk matematika terapan dan matematika. Selain itu, aktivitasnya yang luas memberi banyak kontribusi untuk menjadikan Göttingen sebagai pusat utama ilmu pasti di Jerman. Lawan pendekatan satu sisi, ia memiliki kemampuan luar biasa untuk menemukan hubungan yang cepat antara berbagai bidang penelitian dan untuk memanfaatkannya dengan baik.

Di sisi lain, ia kurang tertarik pada pekerjaan yang membutuhkan perhitungan halus dan terperinci, yang dengan senang hati ia tinggalkan kepada murid-muridnya. Pada tahun-tahun terakhir, keahlian organisasi Klein yang hebat muncul ke depan, memungkinkan dia untuk memulai dan mengawasi karya ensiklopedi berskala besar yang ditujukan untuk banyak area matematika, penerapannya, dan pengajaran mereka. Selain itu Klein dikenal secara luas melalui banyak bukunya berdasarkan ceramahnya yang membahas hampir semua bidang matematika dan perkembangan historis mereka di abad kesembilan belas.

Perkembangan Klein yang sangat pesat sebagai matematikawan adalah karakteristik. Mula-mula ia ingin menjadi fisikawan, dan saat masih menjadi mahasiswa ia membantu J. Plücker, dalam kuliah fisika di Bonn. Pada waktu itu Plücker, yang telah kembali ke matematika setelah masa yang panjang yang dikhususkan untuk fisika, sedang mengerjakan sebuah buku berjudul Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf der geraden Linie als Raumelement. Kematiannya yang mendadak pada tahun 1868 mencegahnya menyelesaikannya, dan Klein muda mengambil alih tugas ini. Disertasi Klein dan karya pertamanya yang pertama juga membahas topik dalam geometri garis. Aspek baru dari usahanya adalah bahwa dia bekerja dengan koordinat homogen, yang kadang-kadang dilakukan Plücker. Bahwa dia mengerti bagaimana menerapkan teori pembagi dasar, yang dikembangkan oleh Weierstrass beberapa saat sebelumnya, dengan klasifikasi kompleks garis lurus kuadrat (dalam disertasinya). Dan bahwa ia awal melihat garis geometri P3 sebagai geometri titik pada kuadrat P5, yang merupakan konsepsi yang sama sekali baru.

Pada tahun 1870 Klein dan S. Lie (lihat Werke, I, 90-98) menemukan sifat dasar garis asimtotik permukaan Kummer yang terkenal, yang, karena permukaan singularitas kompleks garis lurus kuadrat umum, menempati tempat Dalam geometri garis aljabar. Di sini dan dalam penyelidikan serentak permukaan kubiknya (Werke, II, 11-63) ada bukti perhatian khusus Klein untuk intuisi geometris, baik mengenai bentuk kurva bidang atau model konstruksi spasial. Hasil lebih lanjut dari kolaborasinya dengan Lie adalah penyelidikan, dalam karya gabungan, dari apa yang disebut kurva-W (Werke, I, 424-460). Ini adalah kurva yang mengakui sekelompok transformasi proyektif ke dalam dirinya sendiri. Prestasi Klein yang paling penting dalam geometri, bagaimanapun, adalah dasar proyektif dari geometri non-Euclidean dan penciptaan "Program Erlanger." Kedua hal ini dicapai selama masa muda yang sangat produktif.

Geometri hiperbolik, memang benar, sudah ditemukan oleh Lobachevsky (1829) dan J. Bolyai (1832); Dan pada tahun 1868, beberapa saat sebelum Klein, E. Beltrami telah mengakui bahwa itu berlaku pada permukaan kelengkungan negatif konstan. Namun demikian, geometri non-Euclidean belum menjadi pengetahuan umum di kalangan matematikawan ketika, pada tahun 1871 dan 1873, Klein menerbitkan dua karya berjudul Über die sogenannte nicht-euklidische Geometrie (Werke, I, 254-351). Kontribusi pentingnya di sini adalah untuk memberikan apa yang disebut model proyektif untuk tiga jenis geometri: hiperbolik, yang berasal dari Bolyai dan Lobachevsky; Elips, berlaku pada bola di mana titik antipoda telah dianggap identik; Dan Euclidean. Klein mendasarkan karyanya pada geometri proyektif yang sebelumnya didirikan oleh C. Staudt tanpa menggunakan konsep jarak dan sudut metrik, hanya menambahkan kontinuitas kontinuitas pada konstruksi Staudt. Kemudian ia menjelaskan, misalnya, bidang geometri hiperbolik sebagai geometri yang berlaku di bagian dalam kerucut nyata dan mengurangi garis dan sudut untuk menyandingkan rasio. Ini telah dilakukan untuk sudut Euclidean oleh Laguerre pada tahun 1853 dan, lebih umum lagi, oleh A. Cayley pada tahun 1860. Tapi Klein adalah orang pertama yang menyadari dengan jelas bahwa dengan cara ini geometri yang dimaksud dapat dibangun secara murni secara proaktif. Dengan demikian, seseorang bisa berbicara tentang model Klein dengan metrik Cayley-Klein.

Konsep yang dikelompokkan bersama dengan nama "Program Erlanger" dipresentasikan pada tahun 1872 di "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen" (Werke, I, 460-498). Karya ini mengungkapkan keakraban awal dengan konsep kelompok yang diperoleh Klein terutama melalui kontaknya dengan Lie dan dari C. Jordan. Inti dari "Program Erlanger" adalah bahwa setiap geometri yang diketahui sejauh ini didasarkan pada kelompok tertentu, dan tugas geometri yang dimaksud terdiri dari pembentukan invariants kelompok ini. Geometri dengan kelompok yang paling umum, yang sudah diketahui, adalah topologi. Itu adalah geometri dari invarian dari kelompok semua transformasi kontinyu-misalnya, bidang. Klein kemudian secara berturut-turut menyebarkan prediktor, affine, dan equiaffine atau kelompok utama dari dimensi tertentu. Dalam kasus tertentu, kelompok berikutnya adalah subkelompok dari kelompok sebelumnya. Bagi kelompok-kelompok ini termasuk geometri projektif, affine, dan equiaffine dengan invarian mereka, dimana geometri equiaffine sama dengan geometri elementer Euclid.

Geometri non-Euclid diperhitungkan dengan bantuan model Cayley-Klein, serta berbagai jenis geometri melingkar dan bola yang dirancang oleh Moebius, Laguerre, dan Lie, juga dapat dipandang sebagai teori invarian dari subkelompok tertentu dari Kelompok proyektif. Pada tahun-tahun berikutnya Klein kembali ke "Program Erlanger" dan, dalam serangkaian karya (Werke, I, 503-612), menunjukkan bagaimana fisika teoritis, dan terutama teori relativitas, yang telah muncul untuk sementara, dapat menjadi Dipahami atas dasar gagasan yang dipaparkan di sana. "Programme" diterjemahkan ke dalam enam bahasa dan membimbing banyak pekerjaan yang dilakukan di tahun-tahun berikutnya: misalnya, geometri analitik Lothar Heffter, instruksi sekolah, dan upaya seumur hidup W. Blaschke dalam diferensial geometri. Baru kemudian di abad ke-20 ini digantikan.

Klein menganggap karyanya dalam teori fungsi sebagai puncak karyanya dalam matematika. Dia berutang beberapa keberhasilan terbesarnya untuk pengembangan gagasan Riemann dan aliansi intim yang dipalsukan antara yang terakhir dan konsepsi teori invarian, teori bilangan dan aljabar, teori kelompok, dan geometri multidimensi dan teori persamaan diferensial, terutama di bidangnya sendiri, fungsi modular eliptik dan fungsi automorfik.

Bagi Klein permukaan Riemann tidak lagi memiliki permukaan penutup multisheet dengan titik cabang yang terisolasi pada sebuah pesawat, begitulah Riemann mempresentasikannya dalam terbitannya sendiri. Sebaliknya, menurut Klein, ia kehilangan hubungannya dengan bidang kompleks dan kemudian, pada umumnya, ke ruang tiga dimensi. Melalui Klein, permukaan Riemann dianggap sebagai komponen teori fungsi yang tak terpisahkan dan tidak hanya sebagai sarana berharga untuk mewakili fungsi multivalued.

Klein memberikan penjelasan komprehensif tentang konsepsinya tentang permukaan Riemann pada tahun 1882 di Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen dan Integrate. Dalam buku ini ia memperlakukan teori fungsi sebagai teori fungsi geometrik sehubungan dengan teori potensial dan pemetaan konformal - seperti yang telah dilakukan Rriemann. Selain itu, dalam upayanya untuk memahami hubungan sebenarnya dan untuk menghasilkan hasil baru, Klein sengaja mengerjakan intemusi ruang dan dengan konsep yang dipinjam dari fisika, terutama dari dinamika fluida. Dia berulang kali menekankan bahwa dia sangat memperhatikan kekurangan metode demonstrasi ini dan dia mengharapkan mereka untuk dieliminasi di masa depan. Sebagian dari teorema keberadaan yang digunakan oleh Klein sudah terbukti, sebelum kemunculan buku oleh Klein, oleh H. A. Schwarz dan C. Neumann. Klein tidak memasukkan hasil mereka dalam karyanya sendiri. Dia menentang semangat sekolah matematikawan Berlin yang dipimpin oleh Weierstrass, dengan kecenderungan aritmatika yang abstrak-kritis. Pendekatan Riemann, yang cenderung lebih mengarah pada geometri dan representasi spasial, ia dianggap lebih berbuah. Landasan yang ketat dari teorema-teorema sendiri dan perpaduan antara konsep Riemann dan Weierstrass yang diharapkan Klein dan harapkan menemukan ekspresinya-masih berlaku sampai sekarang-pada tahun 1913 di H. Weyl's Die idee der Riemannschen Fläche.

Masalah yang sangat diminati Klein adalah solusi dari persamaan tingkat lima, karena perlakuannya melibatkan pertimbangan simultan teori kelompok aljabar, geometri, persamaan diferensial, dan teori fungsi. Hermite, Kronecker, dan Brioschi telah menggunakan metode transendental dalam penyelesaian persamaan aljabar umum tingkat kelima. Klein berhasil menurunkan teori lengkap persamaan ini dari pertimbangan icosahedron, salah satu polyhedra biasa yang dikenal sejak zaman purba. Tubuh-tubuh ini kadang-kadang dapat diubah menjadi diri mereka sendiri melalui kelompok rotasi yang terbatas. The icosahedron pada khususnya memungkinkan enam puluh rotasi semacam itu menjadi dirinya sendiri. Jika seseorang membatasi bola tentang polyhedron biasa dan memetakannya ke bidang dengan proyeksi stereografik, maka pada kelompok rotasi polyhedron ke dalam dirinya sendiri, ada sekelompok transformasi linear dari bidang ke dalam dirinya sendiri. Klein menunjukkan bahwa dengan cara ini semua kelompok terbatas transformasi linier diperoleh, jika kelompok yang disebut dihedral ditambahkan. Dengan dihedron Klein berarti poligon biasa dengan n sisi, dianggap sebagai badan kaku volume nol.

Melalui hubungan persamaan derajat kelima dengan transformasi linier dan melalui penyatuan penyelidikannya dengan teori fungsi segitiga H. A. Schwarz, Klein diarahkan pada fungsi modular eliptik, yang berutang nama mereka pada kejadiannya dalam fungsi elips. Dia mendedikasikan serangkaian karya dasar yang panjang kepada mereka dan, dengan R. Fricke, mempresentasikan teori lengkap dari fungsi ini dalam dua jilid luas yang masih sangat diperlukan untuk penelitian. Aspek individu dari teori tersebut diketahui sebelumnya. Itu adalah pertanyaan di sini tentang fungsi holomorfik di bidang setengah bagian atas ℋ dengan sebuah tiang pada tak terhingga, yang tetap invarian di bawah transformasi kelompok modular :

Jika satu , maka himpunan dari titik z, dengan

Dan tambahan  jika , memiliki setiap titik dalam ℋ tepat satu titik setara dengan titik di bawah Γ.  adalah domain fundamental untuk Γ relatif terhadap . Itu sudah dikenali oleh Gauss. Pada tahun 1877, agak jauh dari Dedekind dan dan terlepas dari dirinya, Klein menemukan invarian mendasar  yang menganggap setiap nilai dalam F tepat sekali dan dengan cara dimana semua fungsi modular dapat dianggap sebagai fungsi rasional.

Klein selanjutnya menyelidiki subkelompok Γ1 dari Γ dengan indeks terbatas, domain fundamental mereka, dan fungsi terkaitnya. Dia kemudian sampai di bidang fungsi aljabar, yang dia teliti dengan konsep dan metode teori fungsi Riemann. Integrasi dan perbedaan Abelan, dan dengan demikian bentuk modular, sebagai generalisasi fungsi modular, mengarah pada fungsi modular pada Γ1. Kita juga berhutang pada Klein kelompok kongruen. Ini adalah subkelompok Γ1 dari Γ yang berisi kelompok semua transformasi

Untuk bilangan natural tetap .  yang paling tidak mungkin untuk sebuah kelompok Γ1 Klein ditunjuk sebagai tingkat kelompok. Kelompok kongruen berhubungan erat dengan teorema dasar teori bilangan. Teori fungsi modular dikembangkan lebih lanjut oleh siswa langsung Klein, seperti A. Hurwitz dan R. Fricke, dan terutama oleh Erich Hecke. Penerapannya pada beberapa variabel terutama disebabkan oleh David Hilbert dan Carl Ludwig Siegel.

Dari fungsi modular Klein sampai pada fungsi automorfik, yang, bersama dengan yang pertama, mencakup fungsi periodik dan ganda berkala. Fungsi automorfik didasarkan pada kelompok arbitrer Γ transformasi linier yang beroperasi pada lingkungan Riemann atau pada subsetnya; Mereka memiliki titik interior dalam domain definisi mereka yang memiliki lingkungan dimana tidak ada dua titik yang setara dengan Γ. Mereka juga memiliki domain fundamental F. Klein mempelajari berbagai jenis jaringan yang dihasilkan dari F oleh aksi Γ. Peran utama dimainkan oleh Grenzkreisgruppen, dengan cara memotong bagian dalam lingkaran yang masuk ke dalam dirinya sendiri di bawah Γ. Dan di bawah mereka ada banyak generator. Kelompok-kelompok tersebut mengarah ke bidang fungsi aljabar, dan dengan demikian Klein dapat menerapkan gagasan Riemann bahwa ia telah berkembang lebih jauh. Pada saat yang sama dengan Klein dan bersaing dengan dia, Poincaré mengembangkan teori fungsi automorfik. Namun, bertentangan dengan Klein, dia menetapkan teorinya dalam hal ekspresi analitik-yang disebut seri Poincaré. Korespondensi antara dua matematikawan selama tahun 1881 dan 1882, yang bermanfaat bagi keduanya, dapat ditemukan dalam volume III karya Klein Gesammelte mathematische Abhandlungen.

Jalan dari fungsi automorphik ke fungsi aljabar dapat berjalan di kedua arah - itulah inti dari pernyataan yang disebut Klein sebagai "teorema fundamental," yang ditetapkan oleh dirinya dan Poincaré dalam karya-karya yang sangat berpengaruh. Di antara teorema dasar, misalnya, adalah bagian berikut dari Grenzkreistheorem: Misalkan  adalah polinomial yang tidak dapat direduksi di  dan  di bidang bilangan kompleks. Kemudian satu mendapatkan semua pasangan solusi dari persamaan  dalam bentuk , di mana  dan  adalah fungsi rasional dalam  Atau fungsi periodik ganda, atau fungsi automorfik di bawah kelompok Grenzkreis, sesuai dengan apakah permukaan Riemann yang sesuai dengan  adalah genus , atau lebih tinggi dari . Variabel  dikatakan Grenzkreis uniformizing. Ini didefinisikan dengan baik hingga transformasi linier. Klein, seperti Poincaré, bekerja dengan teorema fundamental tanpa bisa membuktikannya sepenuhnya. Ini pertama kali dilakukan pada awal abad ke-20 oleh Paul Koebe. Kemajuan yang dibuat dalam teori fungsi automorfik sejak tahun 1930 terutama disebabkan oleh W. H. H. Petersson (lahir 1902).

Pada tahun 1890-an Klein sangat tertarik dengan fisika dan teknik matematika. Salah satu hasil pertama dari pergeseran minat ini adalah buku teks yang disusunnya dengan A. Sommerfeld tentang teori giroskop. Masih merupakan standar kerja di bidang mekanika ini.

Klein tidak senang dengan sifat matematika kontemporer yang semakin abstrak. Keprihatinannya yang lama dengan aplikasi semakin diperkuat oleh kesan yang dia terima selama dua kunjungan ke Amerika Serikat. Dia mencari, di satu sisi, untuk membangkitkan perasaan lebih besar untuk aplikasi di antara matematikawan murni dan, di sisi lain, untuk memimpin para insinyur untuk mendapatkan apresiasi matematika yang lebih besar sebagai sains fundamental. Tujuan pertama dimajukan oleh pendirian, sebagian besar melalui inisiatif Klein, dari Institut Penelitian Aeronautika dan Hidrodinamika Göttingen. Pada waktu itu institusi semacam itu masih jarang terjadi di kota-kota universitas. Selain itu, pada pergantian abad ia mengambil bagian aktif dalam proyek penerbitan besar Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Dia sendiri adalah editor, bersama dengan Konrad Müller, dari empat jilid jurusan mekanika.

Betapa gurih dan merangsang guru Klein dapat dilihat dari angka empat puluh delapan disertasi yang disiapkan di bawah pengawasannya. Mulai tahun 1900 ia mulai menaruh minat pada instruksi matematika di bawah tingkat universitas sambil terus melanjutkan fungsi akademisnya. Perubahan penting yang direkomendasikan adalah pengenalan di sekolah menengah dasar dari kalkulus diferensial dan integral dan konsep fungsi. Seorang advokat untuk memodernisasi pengajaran matematika di Jerman, pada tahun 1905 ia memainkan peran yang menentukan dalam merumuskan "Meraner Lehrplanentwürfe." Perubahan penting yang direkomendasikan adalah pengenalan di sekolah menengah dasar dari kalkulus diferensial dan integral dan konsep fungsi. Pada tahun 1908 di Kongres Internasional Matematikawan di Roma, Klein terpilih sebagai ketua Komisi Internasional untuk Instruksi Matematika. Sebelum Perang Dunia I, cabang komisi Jerman menerbitkan sebuah karya multivolume yang berisi laporan rinci tentang pengajaran matematika di semua jenis institusi pendidikan di kekaisaran Jerman.

Klein sempat dianugrahkan 3 penghargaan semasa hidupnya, yaitu De Morgan Medal (1893), Copley Medal (1912), dan Ackermann-Teubner Memorial Award (1914). Penghargaan tersebut menjadi bukti nyata bahwa ide yang telah dikemukakan oleh Fleix Klein amat berguna dan berjasa dalam perkembangan hidup manusia, baik dalam matematika maupun dalam perkembangan teknologi sekarang ini. Melihat jasa yang sebesar ini, rasanya miris jika seorang Felix Klein tidak diabadikan sebagai salah satu ilmuwan besar yang pernah hadir dalam peradaban manusia.

BIBLIOGRAFI

I.                   Karya Asli. Kertas Klein disatukan dalam matematik Gesammelte Abhandlungen, 3 jilid. (Berlin, 1921-1923). Bukunya termasuk über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale (Leipzig, 1882); Vorlestungen über das Ikosaeder und die Auflösung der gleichungen om 5. Grade (Leipzig, 1884); Vorlesungen über mati Theorie der elliptischen Modulfunktionen, 2 jilid. (Leipzig, 1890-1892), ditulis dengan R. Fricke; Über mati Theorie des Kreisels, 4 jilid. (Leipzig, 1897-1910), ditulis dengan A. Sommerfeld; Vorlesungen über mati Theorie der automorphen Funktionen, 2 jilid. (Leipzig, 1897-1912), ditulis dengan R. Fricke; Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus, 3 jilid. (Berlin, 1924-1928); Die Entwicklung der Mathematik im 19.Jahrhundert, 2 jilid. (Berlin, 1926); Vorlesungen über höhere Geometrie (Berlin, 1926); Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie (Berlin, 1928); Dan Vorlesungen über meninggal hypergeometrische Funktion (Berlin, 1933).

II.                Sastra Sekunder. Lihat Richard Courant, "Felix Klein," di Jahresberichte der Deutschen Mathematikervereiningung, 34 (1925), 197-213; Koleksi artikel oleh R. Fricke, A. Voss, A. Schönflies, C. Carathéodory, A. Sommerfeld, dan L. Prandtl, "Felix Klein zur Feier seines 70. Geburtstages," yang Naturwissenschaften, 7, no. 17 (1919); G. Hamel, "F. Klein als Mathematiker, "di Sitzungsberichte der Berliner mathematischen Gesellschaft, 25 (1926), 69-80; W. Lorey, "Klein persönlichkeit und seine Verdienste um die höhere Schule," ibid., 54-68; Dan L. Prandtl, "Kleins Verdienste di matematik matematik matinya," ibid., 81-87.

SIFAT KEBENARAN MATEMATIKA

1.   Aksioma dan Proposisi Matematika

A.    PERMASALAHAN

Prinsip dasar penelitian ilmiah adalah bahwa semu proposisi dan term, agar dapt diterima, harus ada landasan yang cukup. Dalam sains empirik, termasuk ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan social, landasan dasar dapat diterimanya suatu teori adalah adanya kecocokan atau konfirmasi antar prediksi yang berlandasan suatu teori dengan bukti empiris yang dapat diperoleh baik melalui eksperimen maupun melal;ui observasi sistematis. Dengan demikian, maka landasan dasar apakah yang tidak menyangsikan dan diterimanya riset (penelitian) matematika? Inilah masalah yang akan dikupas dibawah ini, di sini akan digunakkan term “matematika” dengan mengacu pada aritmetika, aljabar, dan analisis, dan tidak memasukan geometri,. Geometri akan dibahas dibagian lain.

B.     APAKAH KEBENARAN PROPOSISI MATEMATIKA BERSIFAT  SELF-EVIDENT (MENJELASKAN-SENDIRI)

Salah satu dari beberapa jawaban terhadap permasalahan tersebut, yang sangat bertentangan dengan hipotesis sains empirik yakni, pada matematika tidak memerlukan buku factual atau eksperimen dan tidak pula pertimbangan yang lain sebab, kebenaran matematika adalah “self-evident” (membuktikan sendiri). Pandangan ini, bagaimana pun meletakan sejenis keputusan bahwa kebenaran matematika berada pada semacam perasaan self-evident, akan menemui banyak kesulitan. Pertama, banyak teorema matematika begitu sulit di bangun, bahkan pada spesialis pada bidangnya sekalipun, memang mereka melihat sesuatu tetapi bukan self-evident. Kedua, sudah sangat terkenal bahwa beberapa hasil matematika amat sangat menarik – terutama pada bidang-bidang abstrak seperti teori himpunan dan topologi yang menghujam jauh ke intuisi yang bertentangan dengan semacam  perasaan self-evident. Ketiga, adanya konjengtur matemais seperti konjengtur dari Goldbach dan Fermat, yang sebenarnya sangat elementer isinya, tetapi belum dapat ditenukan “benar-salahnya” sampai saat ini, tentu hal ini menujukan bahwa tidak semua kebenaran matematika bersifat self-evident. Dan akhirnya, meskipun jika self-evident hanya diberikan pada proposisi postulat yang melandasi matematika, dan dari postulat-postulat ini diturunkan proposisi-proposisi matematika, patut dicatat bahwa pertimbangan seperti apa yang dapt dipandang sebagai self-evident adalah sangat subjektif, pandangan demikian berubah dari orang ke orang dan tetu saja tidak dapat membangun landasan dasar yang cukup untuk penetapan sebagai validitas objektif proposisi matematika.

C.     APAKAH MATEMATIKA MERUPAKAN SAINS EMPIRIS YANG PALING UMUM?

Menurut pandangan yang lain, terutama dianjurkan oleh John Start Mill, matematika dengan sendirinya merupakan sains empiris yang berbeda dengan cabang-cabang lainnya seperti astronomi, fisika, kimia, dsb. Utamanya dalam dua aspek: subtansinyalebih utama dari pada subtansi penelitian ilmiah yang lain, dan proposisi-proposisinya telah diuji dan dikonfirmasikan jauh lebih luas dari pada penelitian ilmiah yang lebih canggih sekalipun seperti dalam astronomi atau fisika. Sebenarnyalah, menurut pandangan ini, sejauh mana hukum-hukum matematika telah dibawah oleh pengalamn-pengalaman masa lampau dalam sejarah kemanusiaan yang panjang sehingga tak dapat dipertimbangkan lagi- kita harus memikirkan teorema-teorema matematika yang secara kualitatif berlainan dan hipotesis-hipotesis yang “well-confirm” atau teori-teori dari cabang-cabang sains lainnya: kita memandangna sebagai “sangat mungkin” terbaik atau derajat konfirmasiya sangat tinggi.

Akan tetapi, pandangan ini pun membuka keberatan sains. Dari suatu hipotesis yang bersifat empiris- seperti,  misalnya, hukum grafitasi Newton masih ada kemungkinan menurunkan prediksi terhadap pengaruh situasi dan kondisi tertentu dan fenomena tertentu yang dapat diamati akan terjadi. Kejadian actual dan fenomena itu akan membangun bukti konfirmasi, sedangkan dengan tidak terjadinya fenomena mengindikasi bukti tidak cocoknya hipotesis. Akibatnya khusus untuk hipotesis empirik secara teritis tidak confirm (cocok); yaitu, ada kemungkinan mengindikasi jenis bukti apa, jika secara actual bertentangan, akan menolak hipotesis. Dengan catatan ini perhatikanlah sekarang “hipotesis” sederhana dari aritmetika:3 + 2 = 5. Jika hipotesis ini memang secara actual suatu generalisasi empiris dari pengetahuan masa lampau maka harus ada kemungkinan menyatakan bukti jenis apa yang bertanggung jawab mengakui hipotesis itu tidak selalu benar, jika ada bukti tidak cocok untuk proposisi yang diberi itu cepat dilakukan. Berikut ini dapat dipakai sebagai gamabran. Kita taruh beberapa mikroba yang lain. Setelah itu kiita harus kembali semua mikroba untuk menguji apakh dalam contoh  ini 3 dan 2 benar-benar menjadi 5. Umpamanya sekarang kita hitung ternyata ada 6 mikroba. Apakah kita memandang hasil ini sebagai bukti empiris tentang ketidak cocokannya proposisi yang diberi, atau sekurang-kurangnya sebagai bukti tidak dapat dipakainya proposisi itu untuk mikroba? Jelas tidak melainkan  kita akan mempertimbangkan bahwakita telah melakukan kesalahan dalam pehitungan atau salah satu mikroba-mikroba itu telah membelah diri menjadi dua. Tetapi dalam situasi yang manapun, seperti dilukiskan ini tidak satu pun menyangka bahwa sembarang himpunan terdiri atas 3 – 2 objek dapat juga dikatakan terdiri atas 5 objek. Dan memang demikian sebab lambang “3 + 2” dan “ menyatakn bilangan yang sama; keduanya adalah sinomim menurut fakta bahwa lambang-lambang “2”, “3”, “5”, dan “+” didefinisikan (atau dipahami dengan diam-diam) dengan cara demikian sehingga identitas di atas berlaku sebagai kosekuensi dari makna yang terkandung di dalam konsep yang terlibat di dalamnya.

D.    SIFAT ANALITIK PROPOSISI MATEMATIKA

Jadi pernyataan 3 + 2 = 5 adalah benar menyerupai alasan, umpamanya, asersi bahwa seksagerian {manula berusia enam puluh} berusia 45 tahun. Kedua-duanya benar menurut definisi atau persyaratan yang menentukan makna dari term-term kunci yang terlihat. Pernyataan-pernyataan jenis ini memberikan ciri khas tertentu yang penting. validasinya tidak memerlukan bukti empiris, mereka dapat ditunjukkan sebagai benar semata-mata hanya dengan analisis makna yang terkandung di dalam term-term yang terdapat di dalamnya. Di dalam bahasa logika kalimat-kalimat jenis ini disebut analitik atau benar apriori, yang mendikasikan bahwa nilai kebenarannya bebeas secar logis dari, atau apriori secara logis padasembarang bukti eksperimental. Dan sementara itu pernyataan-pernyataan empiris, yang disebut sintetik dan dapat divalidasi halnya positeori, dan terus menerus terbuka untuk direvisi terhadap bukti baru, sedangkan bukti kebenaran pernyataan analisis dapat dibangunkan  hanya sekali untuk selamanya. Bagaimanapun, ciri khas “kepastian teoritis” dari proposisi analitik harus dibayar mahal. Suatu pernyataan analitik adalah tidak membawa informasi factual. Pernyataan tentang seksagenerian di atas, misalnya tidak mengasersikan apapun yang dapat memungkinkan pertentangan dengan sembaran bukti factual: pernyataan itu tidak memiliki implikasi factual, tidak ada kandungan empiris, dan dengan alasan persisi inilah bahwa pernyataan itu dapat divalidasi tanpa sumber bukti empiris.

Kita lukiskan lagi pandangan sifat proposisi matematika ini dengan mengambil contoh yang lain, biasanya diambil contoh kebenaran matematika- atau logis- yakni proposisi bahwa jika a = b dan b = c, maka a = c. Dengan data aplikasi, proposisi ini disebut “identitas transitivitas” diasersikan? Apakah proposisi ini bersifat empiris sehingga dengan demikian secara teoritis dapat tidak cocok dengan bukti empiris? Pandanglah, misalnya bahwa a, b, c, adalah padang rumput, sejauh mata memandang tampak bahwa a = b, dan b = c, akan tetapi, jenis kelihatan bahwa a  c, maka tidak mungkin a = b dan c = b, paling sedikit sepasang dari pasangan huruf-huruf ini tidak sama, yakni harus ada perbedaan walaupun mungkin hanya kecil sekali. Maka kita menolak kemungkinan ketidakcocokan empiris itu, dan sesungguhnyalah bahwa ide uji empiris harus relevan disini, atas dasar bahwa identitas itu adalah relasi transitif menurut definisi atau menurut postulat-postulat yang mendasarinya. Maka, prinsip dalam permasalahan tersebut adalah benar apriori.

E.     MATEMATIKA SISTEM DEDUKTIF AKSIOMATIK

Sebegitu jauh telah dipaparkan bahwa validitas matematika tidak terletak pada pernyataan sifat self-evidentnya dan tidak pula pada dasar empiris, akan tetapi diturunkan dari pernyataan tentang apa yang menentukan makna konsep-konsep matematika, dan bahwa proposisi-proposisi matematika dengan demikian adalah “benar menurut definisi”. Pernyataan terakhir ini terlalusederhan dan perlu diklarifikasi ulang dan perlu pertimbangan yang hati-hati.

Demi perkembangan yang rigor teori matematika bukan perolehan mudah dari perangkat definisi sederhan akan tetapi dari perangkat proposisi-proposisi non-defisional yang tidak dibuktikan dalam teori itu. Mereka dinforrmasikan dalam term-term dasar tertentu atau konsep-konsep primitive di mana idak ada definisi-definisi diberikan dalam teori itu. Seringkali orang mengira bahwa postulat-postulat sendiri menyajikan “definisi implicit”dari term-term tidak didefiisikan. Bagaimana pun, pencirikhasan postulat-postulat yang demikian salah terka. Di samping postulat-postulat itu terbatas dalam arti khusus makna yang mungkin dapat diberikan pada term-term takdidefinisikan sembarang sistem postulat yang self-evident boleh, meskipun demikian, banyak iterpretasi berbeda-beda atas term-term takdidefinisikan (nanti akan dijelaskan), sedangkan perangkat definisi dalam arti langsung dari kata-kata menentukan makna dari defienda (yang didefinisikan) dalam bentuk yang tumggal.

Setelah term-term takterdefiisiakan dan postulat-postulat ditetapkan, seluruh sudah tertentu dengan lengkap, teori-teori dapat diturunkan dari dasar postulationaldengan cara sebagai berikut: Setiap term dari teori dapat didefinisikan dalam term-term takterdefinisikan, dan setiap proposisi dalam teori dapat dideduksi secara logis dari postulat-postulat. Agar seluruhnya persis, perlu pula mencirikan prinsip-prinsip logika yang akan digunakan dalam bukti proposisi dengan kata lain, dalam deduksinya dari postulat. Prinsip-prinip ini dapat dinyatakan dengan sangat eksplisit. Prinsip-prinsip logika terbagi dalam dua kelompok. Kaliamat primitif, atau postulat dari logika (seperti jika p dan q benar, maka p benar), dan aturan-aturan deduksi dan penyimpulan (termasuk, misalnya, yang dikenal dengan modes ponen dan modes tolen dan aturan subtitusi yang mungkin menarik kesimpulan, dan proposisi umum, dengan mengambil salah satu contoh subitusi).

2.     Sistem Aksioma Peano sebagai Basisi matematika

A.      SISTEM AKSIOMA PEANO

Sekarang marilah kita pelajari lebih dekat sebuah sistem matematika aksiomatis atau sistem postulat yang dari sistem ini seluruh aritmetika bilangan alam (cacah) dapat diturunkan. Sistem ini diciptakan oleh matematikawan dan logikawan bangsa Italia G. Peano (1858-1932) term-term takdidefinisikan dalam sistem ini adalah “0”, “bilangan”, dan “pengikut” atau “successor”. Sementara itu, tentu saja tidak ada defoinisi yang diberikan kepada term-term inidalam teorinya, lambang “0” dimaksud menandakan bilangan 0 dalam makna biasa, sedangkan term “bilangan” dimaksud kepada bilangan alam 0,1,2,3,… ekslusif. Dengan pengikut suatu bilangan alam n, yang bisa tandakan dengan n; dimaksud bilangan alam tepat sesudah bilangan alam n dalam urutan biasa. Sistem Peano memuat 5 postulat berikut ini:

P1. 0 adalah suatu bilangan

P2. Pengikut sembarang bilangan adalah suatu bilangan

P3. Tidak ada dua bilangan yang mempunyai  pengikut sama

P4. 0 bukanlah pengikut bilngan mana pun

P5. Jika P adalah suatu sifat sedemikin sehingga (a) 0 bersifat P, dan (b) apabila suatu bilangan n bersifat P maka pengikut n’ juga bersifat P, maka setiap bilangan bersifat P.

Postulat yang terlahir ini mengandung prinsip induksi matematis dan mengganbarkan dengan cara yang sangat jelas cara memperkuat “kebenaran” matematis dengan persyaratan. Konstruksi aritmetika elementer pada basisi ini dimulai dengan definisi berbagai bilangan alam. 1 didefinisikan sebagai pengikut 0, atau disingkat sebagai 0’,2 sebagai 1’,3 sebagai 2’, dan seterusnya. Menurut P2, proses ini dapat dilanjutkan takterbatas; sebab P3 (dengan kombinasi P5), proses ini tida pernah kembali ke satu bilangan yang telah didefinisikan terdahulu, dan menurut P4, prose situ tidak juga kembali ke 0.

Langkah selanjutnya kita dapat membangun definisi penjumlahan yang dinyatakan dalam bentuk yang persis dengan suatu ide bahwa penjumlahan sembarang bilangan alam dengan bilangan alam yan diketahui dapat dipandang sebagai penjumlahan berulang-ulang dari 1; operasi yang terakhir ini sipa dinyatakan dengan hubungan pengikut. Definisi penjumlahan ini berjalan sebagai berikut.

D1. (a) n + 0 = n;                         (b) n + k’ = (n + k)’,

Kata syarat pada definisi rekrusif ini menentukan dengan lengkap jumlah sembarang dua bilangan. Perhatikan umpamannya, jumlah 3 + 2. Menurut definisi bilangan 2 dan 1, kita peroleh 3 + 2 = 3 + 1’ = 3 + (0)’, akan tetapi menurut D1 (b), 3 + (0’)’ = (3 + 0’)’ = ((3 + 0’)’ sedangakan menurut D1 (a), dan menurut definisi bilangan 4 dan 5, ((3 + 0’)’- (3’)’ = 4’ = 5. Bukti ini juga menjelaskan lebih eksplisitdan persis komentar yang diberikan terdaulu aatas kebenaran proposisi bahwa 3 + 2 = 5: Di dalam sistem aritmetika Peano, kebenaranya mengalir bukan semata-mata dari definisi konsep-konsepyang terlibat, akan tetapi juga dari postulat-postulat yang berlaku atasnya. Dalam contoh ini postulat P1 dan P2 dan jaminan bahwa 1,2,3,4,5 adalah bilangan-bilangan dalam sistem Peano, bukti umm bahwa D1 menentukan jumlah smbarang dua bilangan juga menggunakkan P5. Jika postulat-postulat dan definisi-definisi dalam teori aksiomatik itu kita sebut “syarat-ayarat” yang terkait dengan konsep-konsep dalam teori itu, maka sekarang kita dapat menggunakkan bahwa proposisi-proposisi dalam aritmetika bilangan alam adalah benar menurut persyaratan-persyaratan yang telah ditetapkan sejak awal untuk konsep-konsep aritmetika. (ingat, khususnya, bahwa bukti untuk rumus “3 + 2 = 5” beberapa kali menggunakan identitas transivitas; yang terakhir ditrima disini salah satu aturan dalam logika yang dapat diggunakkan dalam bukti sembarang teorema dalam aritmetika; dengan demikian, aturan-aturan logika ini ang termasuk di antara postulat-postulat. Peano tidak lain adalah aturan logika).

Sekarang, perkalian bilangan alam dapat didefinisikan dengan definisi rekrusif sebagai berikut, yang dinyatakan dalam bentuk ide yang rigor bahwa hasil kali n.k dari dua bilangan dapat dipandang sebagai jumlah k kali masing-masing sama dengan n.

      D2 (a) n.0 = 0;                            (b) nk’ = n.k + n.

Sekarang ada jalan membuktikan hukum-hukum umium untuk penjumlahan dan perkalian, seperti hukum-hukum komutatif, asosiatif, dan distributif, [yakni: n + k = k + k,n.k = k n; n +(k + 1) = (n + k) + l. n.(k.l) = (n.k).l. n.(k + l) = (n.k) + (n.l)]. Kemudian dalam term-term penjumlahan dan perkalian, operasi invers pengurangan dan pembagian dapatlah didefinisikan. Tetapi dalam masalah ini “tidak selalu dapat dilaksanakan”, umpamnya, berbeda dengan penjumlahan dan perkalian, selisih dari hasil bagi tidak untuk setiap pasang bilangan terdefinisikan; umpamanya, 7 – 10 dan 7 : 10 tidak terdefinisikan. Situasi ini menyarankan perlunya suatu perluasan sistem bilangan dengan memperkenalkan bilangan-bilangan negative dan rasional.

Sering kali dilakukan bahwa agar perluaan itu efektif, kita harus “berasumsi” atau “mempostulatkan” keberadaan jenis bilangan tambahan yang diinginkan dengan sifat-sifat yang membuatnya cocok untuk mengisi kesenjangan operasi pengurangan dan perkalian. Metode ini sederhan saja dengan mempostulatkan apa yang diinginkan demi kemajuan-kemajuan. Sangat dihargai bahwa bilangan negative dan rasional yang diperoleh dari term-term primitive dalam sistem Peano dengan memasukan definisi ekspisit tanpa tambahan satu pun postulat maupun asumsi-asumsi baru. Setiap bilangan positif dan negative – berbeda dengan bilangan alam yang tidak mempunyai tanda  - dapat didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terutama bilangan-bilangan alam; jadi, bilangan + 2 didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terutama (m, n) dari bilangan-bilangan alam dengan sifat m = n + 2, bilangan -2 (negatif 2) adalah himpunan semu pasangan terutama bilangan alam (m, n) dengan sifat n = m + 2. Hal yang serupa, bilangan rasional dapat didefinisikan sebagai pasangan terutama bilangan-bilangan alam. Berbagai operasi aitmetika kemudian dapat didefinisikan dengan mengacu pada jenis-jenis bilangan baru ini, dan validitasi semua hukum aritmetika yang berlaku pada operasi-operasi ini dapat  dibuktikan dengan menggunakan,tidak lain, dari pada postulat-postulat Peano dan definisi-definisi dari berbagai konsep aritmtetika yang terlibat.

Sedemikian jauh perluasan yang kita peroleh ini masih belum lengkapdalam arti tidak setiap ilangan di dalamnya mempunyai suatu nilai akar kuadrat, dan lebih umum lagi, tidak setiap persamaan aljabar dengan koefisien semua bilangan dalam sistem mempunyai solusi dalam sistem. Hal ini mengisyaratkan masih perlunya memperluas lagi sistem bilangan itu dengan megintroduksi sistem bilangan nyata dan akhrnya sistem bilangan komples. Lagi, dalam berbagai perluasan ini dapat dibuat efektif hanya dengan definisi tanpa menambahkan posulat pun. Berdasarkan apa yang telah diperoleh, berbagai operasi aritmetika dan aljabar dapa didefinisikan bagi bilangan-bilangan dalam sistem baru ini, konsep-konsep fungsi, limit, derivative dan integral dapat dintrodusir, dan teorema-teorema yang bisa di jumpai dalam konsep-konsep ini dapat dibuktikan, disini hanya tergantung pada basis sistem Peano yang sedalam itu: Setiap konsep matematika dapat didefinisikan dengan tiga primitif Peano, dan setiap proposisi matematika dapat dideduksi dari lim postulat yang diperkaya dengan definisi-definisi atau term-term non primitif. Dalam banyak kasus, deduksi ini dapat dilakukan, dengan menggunakan tidak lebih dari prinsip-prinsip logika formal; bukti beberapa teorema yang berkaitkan  dengan bilangan real, bagaimana pun, menghendaki sebuah asumsi yang biasanya tidak termasuk di antara yang terakhir itu. Inilah aksioma yang bisa disebut aksioma pilihan (axioma of choice). Aksioma ini berbunyi bahwa diberikan suatu himpunan terdidi atas himpunan-himpunn eksklusif, masing-masing tidak hampa, terdapatlah sekurang-kurangnya satu himpunan yang tepat mempunyai satu elemen bersekutu dengan masing-masing himpunan yang diberi. Menurut prinsip ini dan aturan-aturan logika formal, konten semua matematika dapat turunkan dari sistem. Peano yang sederhana – suatu prestasi yang perlu di catat dengan mensistematisasikan konten matematika diklarivikasi validitas landasannya.

 http://mastermaster6.blogspot.co.id